Абак (греч. abax, abakion, латинский abacus - доска, счётная доска), счётная доска, применявшаяся для арифметических вычислений в Древней Греции, Риме, затем в Западной Европе до 18 века. Доска разделялась на полосы, счёт осуществлялся передвижением находящихся в полосах счётных марок (костяшек, камней и т.п.). В странах Дальнего Востока распространён китайский аналог абака - суан-пан, в России - счёты.

    Считают что первый счетный прибор был изобретен в древнем Китае в конце второго тысячелетия до нашей эры он представлял собой обычную счетную доску. (Позиционный принцип возник позже, уже в III веке-до нашей эры.) В таком виде, с незначительными изменениями, она дошла до нашего времени . Ей и поныне пользуются в Китае. Называется она - суан-пан. Счет на нем шел снизу вверх, слагаемые располагались на нижней части доски, а суммирование проводилось от старших разрядов к младшим. Числа выкладывали из небольших палочек, по аддитивному принципу. Нуль никак не обозначался, вместо него просто оставляли пустое место (знак нуля появился в Китае лишь в VIII веке нашей эры). С помощью суан-пана можно было не только складывать, но и умножать, делить, оперировать с дробями, извлекать квадратные и кубические корни. По всей вероятности, это была первая известная нам позиционная десятичная система счисления. Причем действия, производимые в то время на счетной доске, были не вспомогательными - и суан-пан, и операции на нем составляли сущность самой математики. Древнекитайский ученый считал задачу выполненной только в том случае, когда он мог составить для нее правило решения на доске. Суань-пан помог сделать фундаментальные открытия в математике. Действия с числителями и знаменателями привели к понятию дроби как числа, После обобщения правил, разработанных на счетной доске на основе формулы бинома, еще до конца первого тысячелетия нашей эры возник способ извлечения корней, соответствующий методу Руфинни-Горнера.
    Древнекитайским ученым были подвластны и вычисления корней систем линейных уравнений. Коэффициенты системы располагались в виде таблицы, и с ее помощью по специально разработанным правилам производились все операции. Не пасовали китайские математики и перед большими числами: в "Математике в девяти книгах" описывается случай, когда нужно было умножить число 1 644 866 437 500 на 16/9.
    Чтобы отличить положительные числа от отрицательных, в суан-пане применялись различные палочки. Положительные числа обозначались палочками красного цвета или с квадратным сечением, а отрицательные были черного цвета или треугольного сечения. Такие цифры-палочки употреблялись с IV века д.н.э. Но уже спустя примерно тысячелетие счетная доска с палочками начала постепенно вытесняться новым прибором, ставшим прототипом более позднего суан-пана. Он представлял собой расчерченную на квадраты прямоугольную доску, на которой раскладывались специальные фишки. Горизонтальных полос всегда было десять, а число вертикальных не фиксировалось. Каждая фишка в зависимости от своего местоположения обозначала число единиц данного разряда. Вскоре прибор усовершенствовали: появились фишки двух цветов. Желтые обозначали числа от 0 до 4, а черные от 5 до 9. На доске осталось только пять горизонтальных полос, что значительно уменьшило размеры суан-пана и сделало его более удобным в обращении. Затем, в следующих модификациях, появилась горизонтальная перегородка, поделившая счетную доску на две части. В каждом столбце, находящимся ниже этой перегородки, помещалось не более пяти фишек - они обозначали единицы данного разряда. Одна фишка над перегородкой означа- ла пять единиц.
    В таком виде суан-пан существовал вплоть до VIII века. Затем его снова немного усовершенствовали - счетную доску заменили рамой с продетыми в нее прутьями, и, наконец, к XVII веку прибор принял вид современного китайского суан-пана, не претерпевшего с тех пор никаких изменений.
    Внешне суан-пан очень похож на обычные русские конторские счеты. Отличие состоит в том, что ящик китайского прибора разделен перегородкой на две неравные части (на самой перегородке иногда делались иероглифические надписи, соответствующие значению каждого ряда). Считающий кладет суан-пан длинной стороной к себе: ближе к нему на всех прутьях в большей части ящика находится по пять костяшек для отсчета единиц, а с другой стороны перегородки на тех же прутьях нанизано по две костяшки - две пятерки. Чтобы сложить число, нужно придвинуть к перегородке с обеих сторон необходимое количество костяшек.
    Японский аналог суан-пана - со-рубан - известен с XVI века. Его вид тоже оставался неизменным в течение столетий; правда, в нем для откладывания пятерок было всего по одной костяшке. Похожий на со рубан счетный прибор, кстати, распространен в Иране. Идентичные "счеты" можно также встретить в Пакистане и Индии, где крестьяне и торговцы, проводя вычисления, до сих пор раскладывают камешки на расчерченной на песке таблице.

    Русский абак появился на рубеже 16-17 веков. Наиболее распространенным инструментом счета в допетровской Руси был "счет костьми", представлявший собой специальную доску или стол. Перед проведением вычислений их нужно было разграфить горизонтальными линиями. Четыре арифметических действия осуществлялись с помощью камешка, фруктовой косточки или специального жетона.
    В тридцатые годы 17 века московское правительство, возглавляемое матерью будущего Ивана Грозного Еленой Глинской, провело денежную реформу, в результате чего были объединены московская и новгородская денежные системы. Появились новые монеты - копейка и московская деньга, а рубль стал делиться на сто единиц.
    Видимо, именно тогда и возникла идея заменить линии "счета костьми" на натянутые веревки, навесив на них, по существу, все те же "кости". Можно допустить, что подсказка пришла от четок, древнейшего примитивного счетного инструмента, который был широко распространен в русском быту в 16 веке. Тогда термина "счеты" еще не было, и прибор именовался "дощатым счетом". Он представлял собой два неглубоких соединенных между собой ящика, каждый из которых был разделен перегородкой на два отделения. Поперек всех четырех отделений натягивались веревочки или проволочки. На верхних десяти веревках помещалось по девять косточек (четок). В каждом из этих рядов средняя косточка окрашена в отличный от остальных цвет. На одиннадцатой помещалось всего четыре косточки, на остальных - по одной. Существовали и другие варианты "дощатого счета". Он давал возможность производить четыре арифметических действия как с целыми числами, так и с дробями, для вычислений с которыми предназначались неполные ряды "дощатого счета" с разным количеством костей. Но из дробей рассматривались только 1/2 и 1/3, а также полученные из них при помощи последовательного деления на 2. Для действий с дробями других рядов "дощатый счет" приспособлен не был. При оперировании с ними нужно было обращаться к специальным таблицам, в которых приводились итоги разного сочетания дробей. В "Переписной книге домной казны патриарха Никона 1658 года" среди "рухляди" никонова келейного старца Сергия были упомянуты "счоты", которые, по свидетельству археологов и историков, в 17 столетии уже изготавливались на продажу. Так за прибором, именовавшимся и как "дощатый счет", и как "счетная дщица", закрепилось название "счеты".
    Долгое время существовала теория, что они ведут свою родословную с китайского суан-паня, и лишь в начале пятидесятых годов нашего века ленинградский ученый И.Г.Спасский доказал оригинальное русское происхождение этого счетного прибора.
    Широкое использование счетов началось в 17-18 веках. Тогда они и приняли тот вид, в котором сохранились и поныне. В них осталось лишь одно счетное поле, на спицах которого размещалось либо 10, либо 4 косточки (спица с четырьмя четками - дань полушке, денежной единице в 1/4 копейки). Французский математик Ж.Понселе познакомился со счетами в Саратове, будучи военнопленным офицером наполеоновской армии. Спустя некоторое время аналогичный прибор появился во французских школах, а затем и в других странах Европы.
    Основной причиной отказа от второго счетного поля на счетах явилось распространение в России в 18 веке десятеричной позиционной системы (цифровой арифметики). Счеты стали утрачивать значение универсального счетного прибора, постепенно превращаясь во вспомогательный. При помощи новой системы письменно, на бумаге, оказалось гораздо удобнее выполнять математические выкладки, чем с использованием абака. Этот процесс сопровождался острой борьбой, как тогда считали, двух наук: математики на абаке и математики без абака - на бумаге. Эта борьба известна как противодействие абакистов и алгоритмиков. Форма счетов остается неизменной вот уже более 250 лет. Но на протяжении столетия было предложено немало модификаций этого прибора. Стоит вспомнить счетный прибор генерал-майора русской армии Ф.М.Свободского, изобретенный им в 1828 году. Его детище состояло из нескольких обычных счетных полей, которые использовались для запоминания промежуточных результатов при арифметических действиях. Ф.М.Свободский разработал простые правила сведения арифметических действий к последовательности сложения и вычитания, что вместе с запоминанием нескольких простых вспомогательных таблиц (вроде таблицы умножения) заметно сокращало время вычислений. Комиссии инженерного отделения ученого комитета Главного штаба и Академии наук одобрили способ Ф.М.Свободского и рекомендовали ввести его преподавание в российских университетах. И действительно, в течение нескольких лет такое преподавание велось в университетах Петербурга, Москвы и Харькова. Другие интересные модификации русских счетов были предложены А.Н.Больманом (1860), Ф.В.Езерским (1872) и известным русским математиком, академиком В.Я.Буняковским, который в 1867 году изобрел самосчеты. В основу этого прибора - для многократного сложения и вычитания - положен принцип действия все тех же русских счет.